Решение дробных рациональных уравнений (8 класс)

30 июня 2016 / Школа

Решение дробных рациональных уравнений (8 класс)

ПОМОГИТЕ ПОНЯТЬ ТЕМУ!


Комментарии: 1
  1. mashashutvinaMary
    30 июня 2016 в 15:23 – Ответить

    равнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением. 
    Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста.
    Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

    Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

    В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.

    Примеры дробно рациональных уравнений

    Пример 1. Найти корни уравнения

    Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю

    Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета

    Второе раскладываем на множители

    Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.

    Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.

    Ответ: х=-7.

    ————————————

    Пример 2. Решить уравнение

    Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение

    Вычисляем дискриминант

    и корни уравнения

    Получили три нуля числителя .
    Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета

    Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения  будут решениями.

    ————————————

    Пример 3. Найти корни уравнения

    Решение: Переносим слагаемое за знак равенства

    и сводим к общему знаменателю 

    Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению

    Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

    Корни первого вычисляем через дискриминант

    Нули второго находим без проблем

    Исключаем из решений числителя значение  и получим.

    Ответ: х=3.

    ————————————

    Задачи на движение

    Задача 4. Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.

    Решение: 
    Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу. 
    Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время

    Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась 
     

    Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.

    Корни числителя найдем после упрощений 

    С физических соображений первое решение отвергаем.

    Ответ: скорость ветра 15 км/час.

    ————————————

    Задачи о совместной работе

    Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше чем другому?

    Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней.
    Это означает что за один день первый выполнит , а второй —  часть всей нормы. По условию выполняют норму за 4 дня, то есть оба в день могут выполнить нормы. 
    Составляем и решаем уравнение

    Данное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

    Одно решение  не соответствует физической сути задачи. Время второго лесоруба
    х+6=6+6=12 (дней)

    Ответ: Работу первый лесоруб выполнит за 6 дней, а второй за 12.

    ————————————

    Подобных дробно рациональных уравнений можно рассмотреть множество, схема их решения неизменна. В теоретических задачах правильно составляйте уравнение и не заблуждайтесь при сведении к общему знаменателю. Все остальное сводится к решению преимущественно линейных или квадратных уравнений.

Добавить комментарий